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巧解不定方程
同学们在就读初高中的时候，就经常接触到用方程来去求解的题目，往往都是一个方程对应一个未知数，或者两个方程对应两个未知数，甚至有的也会遇到三个方程对应的求三个未知数的情况，而这类的方程，对于学过方程的考生而言都是能够求解出来的，但是在公考考试的数量关系题型中，会出现一些另类的方程，也就是方程的升级版，当考生们根据题意列出方程之后，会发现一个方程对应两个未知数，或者两个方程对应这三个未知数的情况，其实这类方程也就是不定方程，这类方程在考试中出现时并不难，只要懂得相应的解题技巧，应用熟练，这类题目的分数还是很容易手到擒来的。这篇文章中，我们主要带着大家一起来了解如何把不定方程快速求解出来。
1.什么是不定方程?
了解什么是不定方程，就先知道什么是独立方程，独立方程就是不能通过其他方程线性变化得到的方程就是独立方程。
不定方程就是未知数个数多余独立方程的个数的方程(组)，就是不定方程(组)。
2.解题方法
正整数范围内求解(核心：带入)：整除、奇偶性、尾数法
非正整数范围内求解：设特值
3.方法应用
【例1】某批发市场有大、小两种规格的盒装鸡蛋，每个大盒里装有23个鸡蛋，每个小盒里装有16个鸡蛋。餐厅采购员小王去该市场买了500个鸡蛋，则大盒装有多少盒?
A.8 B.10 C.12 D.14
【答案】C。
【解析】题干中已知总共买了500个鸡蛋，但是不知道买了多少个大盒装的，多少个小盒装的，就可以设大盒装的有X盒，小盒装的有Y盒，以此得到方程：23X+16Y=500，得到了一个方程，方程中有两个未知数，如果X取一个数，那Y也会有一个与之对应的数，这样X和Y就有无数组解，但是这里的X和Y表示的是盒子，盒子只有整数个，那么X和Y就有有限组解。观察Y前面的系数是16，常数常数是500，两个都是4的倍数，因此都能被4整除，说明23X同样能够被4整除，而23不能被4整除，只能是X能被4整除，则可以排除B、D,再观察16能被8整除，但是500不能8整除，说明23X也不能被8整除，因此X也不能被8整除，排除A。因此只有C选项正确。
方法应用：此题采用的是在正整数范围内求解，观察未知数前的系数与常数项有公约数时，可以优先考虑用整除的方法进行求解。
【例2】某单位向希望工程捐款，其中部门领导每人捐50元，普通员工每人捐款20元，某部门所有人员共捐款320元，已知该部门总人数不超过10人，问该部门可能有几名部门领导?
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D。
【解析】设该部门领导有X人，普通员工有Y人，根据题意得：50X+20Y=320,化解得：5X+2Y=32,X、Y表示的是人，人只有整数个，说明在正整数范围内求解，观察Y前面的系数是2，常数常数是32，两个都是2的倍数，而能被2正常的数就是偶数，因此2Y是偶数，32也是偶数，说明5X也是偶数，5不是偶数，就只有X是偶数，排除A、C，代入B项，当X=2时，解得Y=11，代入D项，当X=4时，解得Y=6。而题干中描述该部门总人数不超过10人，说明X+Y≤10。则D选项正确。
方法应用：此题采用的是在正整数范围内求解，观察未知数前的系数与常数项都是2的倍数，说明都是偶数，那么另一个也一定时偶数，排除错误选项，减少代入的次数。
【例3】现有452个同样大小的橙子装入大、小两种袋子中，已知大袋子每袋装20个橙子，小袋每袋装17个橙子。每个袋子都必须装满，问至少需要多少个小袋子?
A.5 B.3 C.13 D.9
【答案】B。
【解析】设需要带大袋子X个，小袋子Y个，则：20X+17Y=451.X、Y表示的是袋子，袋子只有整数个，说明在正整数范围内求解，观察其中20X的尾数只有0，而常数项451的尾数是1，因此17Y 的尾数只能是1，排除A、D选项，将B选项代入，当Y=3时，解得X=20，题干要求至少，故直接选择B选项。
方法应用：此题采用的是在正整数范围内求解，在不定方程中，如果有某一个未知数前面的系数是5或者5的倍数，则可以用尾数法进行求解。
【例4】现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需要200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元。则购买甲、乙、丙各1件共需( )元。
A.50 B.100 C.150 D.200
【答案】B。
【解析】设购买甲、乙、丙一件分别需要X、Y、Z元，根据题意可得：{,令Z=0,则得：{,解得{,所求为：X+Y+Z=50+50+0=100,直接选择B选项。
方法应用：本题的未知数表示的是钱，钱可以是任意实数，所以这是在任意范围内求解，如果X取一个数，那Y和Z都会有一个与之对应的数，这样X、Y和Z就有无数组解，但是无论X、Y、Z取多少，X+Y+Z都是一个定值，为了好计算，可以令其中一个未知数为0，得到一个二元一次方程组，求解出另外两个未知数，再相加。
4.方法总结：
(一)正整数范围内求解：
(1)整除：观察未知数前的系数与常数项存在公约数。
(2)奇偶性：其中一个未知数前的系数与常数项都是2的倍数。
(3)尾数法：某一个未知数前面的系数是5或者5的倍数。
(二)非正整数范围内求解：将其中一个未知数设为特值“0”。
通过上面的四道练习题的学习，大家会发现，不定方程的计算量不大，题目本身的难度系数也不高。但是，对于这部分的内容出题形式很新颖，解题思路很灵活。所以，这就需要大家要对我们的这四种解题方法做到活学活用。在这里建议各位考生对于不定方程的解题方法在熟练掌握的基础上，领悟或理解其精髓所在。加上下去大量的练习，熟练于心，这样在之后遇到相应问题时才能有效应对。
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（编辑：liyulu）
